Numerical Analysis and Mathematical Modelling NaM2

Thesis subjects (in dutch)

Studenten kunnen binnen onze onderzoeksgroep kiezen voor heel diverse thema's: van puur theoretisch wiskundige vraagstukken tot toepassingen die hun nut hebben binnen het dagdagelijkse leven. Hieronder staan enkele voorbeeld onderwerpen. Heb je evenwel interesse in (numerieke) (functionaal)analyse en/of wiskundige modellering, en vind je hier je gading niet, neem dan contact op met ons. We slagen er zeker in samen met jou een masterproefvoorstel uit te werken.

Om een volledig beeld te verkrijgen op de diverse onderwerpen binnen onze onderzoeksgroep neem je best een kijkje op de individuele webstekken van onze leden.

Computationele methoden voor stromingsproblemen in poreuze media

Het onderzoek naar stroming en transport doorheen poreuze media heeft duidelijke ecologische imperatieven, bijvoorbeeld inzake de indringing van zout water in de bodem, de remediëring van grondwatervervuiling (o.m. rond afvalstorten), de mogelijke opslag van radioactief afval in zoutmijnen of kleiputten, enzomeer. In een 1ste deel van de studie wordt het wiskundig vraagstuk van gekoppelde stroming en transport in poreuze media bestudeerd, zowel wat het model zelf betreft als inzake de numerieke methoden (algoritmen en hun analyse). Thema's die kunnen aan bod komen zijn o.m.: verzadigde versus onverzadigde stroming, één-fasige versus meer-fasige stroming, adsorptie en reacties van polluenten, eindige elementen en/of eindige differentiemethoden, methode der karakteristieken. In een 2e deel komen meer specifieke, zeer actuele onderwerpen aan bod: (1) densiteits-gebonden stroming (density driven flow) wat o.m. bij vraagstukken van zeewaterintrusie optreedt; (2) doorblazing van met vluchtige organische componenten verontreinigde grondlagen (soil venting). De graad van wiskundigheid kan in overleg worden bepaald, maar interesse voor wiskundige analyse, numerieke analyse en modellering wordt ondersteld.

promotor: Marián Slodička

Gecombineerde kinetiek van reciproke experimenten

In een batchreactor kan men gemakkelijk expliciet de tijdsevolutie bepalen van lineaire chemische reacties zoals bv. A ↔ B → C. Deze hangen af van de begintoestand; men kan in dit geval "extreme" begintoestanden beschouwen waar bv. enkel A of enkel B voorkomt. Schrijft men nu BA(t) voor de tijdsevolutie van B uitgaande van de begintoestand met enkel A, en AB voor het omgekeerde, dan is het merkwaardig dat BA en AB in vaste verhouding staan tegenover elkaar, en dat voor gelijke beginhoeveelheden het quotiënt BA/AB voor alle t > 0 gelijk is aan de evenwichtsconstante van de eerste deelreactie, A ↔ B. Dit alles is geen geïsoleerd feit, maar een speciaal geval van een algemeen resultaat voor lineaire reactiestelsels die voldoen aan de afzonderlijke evenwichtsvoorwaarde van elke deelreactie, zoals vereist door de thermodynamica.

Verdere veralgemeningen zijn ondertussen gevonden, maar er blijft nog een groot onderzoeksgebied over betreffende dergelijke gecombineerde kinetiek, waarin verschillende tijdsevoluties met elkaar in verband gebracht worden en naar evenwichtsconstanten, relaxatiecoëfficiënten, e.d.m. gezocht wordt.

Concrete vereisten voor een scriptie-onderwerp in dit kader: kennis van reactiekinetiek, thermodynamica, wiskundige oplossingsmethodes voor gewone differentiaalvergelijkingen, scheikundige reactortheorie, maar vooral geavanceerde toepassing van computeralgebra, i.h.b. Maple, om nieuwe kandidaat-uitdrukkingen voor nieuwe reactiestelsels op te stellen en te onderzoeken. Het normale bereik van de software wordt daarbij al gauw overschreden en dan moeten bv. priemvelden en niet-deterministische methoden aangewend worden om de complexiteit te beperken. Co-auteurschap is verzekerd van alle publicaties waartoe een werkelijke bijdrage geleverd werd.

Referentie: artikel

Promotor: Denis Constales

Stochastische randwaardeproblemen: polynomiale approximatie

Randwaardeproblemen zijn alomtegenwoordig in het beschrijven van fysische fenomenen. Een deterministische aanpak is soms niet realistisch of ontoereikend. Wanneer fysische parameters in het vraagstuk worden beschouwd als stochastische veranderlijke of veld bekomt men zgn. stochastische randwaardeproblemen. Om zulk een stochastische veranderlijke of veld makkelijk te behandelen en eventueel te discretiseren is polynomiale chaos een mogelijke techniek. Bedoeling van de masterproef is het uitwerken van deze techniek, steunend op de kennis van deterministische randwaardeproblemen; het opstellen van een variationele formulering in een gepaste Sobolevruimte; bewijzen van existentie en uniciteit van een oplossing met Lax-Milgram; eventuele uitbreiding tot de Hida-Kondratiev distributieruimte voor distributionele stochastische velden; geperturbeerde stochastische velden; Galerkin discretisatie (Karhunen–Loève expansie, polynomiale chaos); a priori afschattingen via Galerkin eindige elementen discretisatie in de stochastische dimensie voor Gaussische variabelen (Babuska, Benth en Gjerde); stochastische hp-Galerkin methode; dubbel orthogonale veeltermen; Smolyak integratie. De graad van wiskundige strengheid alsook de dosering van de fysische voorbeelden/toepassingen worden in overleg bepaald.

Referentie: artikel1; artikel2

promotor: Rob De Staelen

Integro-differentiaal evolutieprobleem met niet-lokale randconditie

Veel fysische problemen kunnen gemodelleerd worden aan de hand van tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen (PDE). Wanneer het beschouwde proces plaatsgrijpt in een begrensd domein, dienen corresponderende randcondities worden voorgeschreven. Het doel van deze masterproef is de theoretische en numerieke studie van een PDE met niet-lokale randconditie in integraalvorm. Het goed-gedefinieerd zijn (in de zin van Hadamard) van het probleem en de regulariteit van de oplossing worden bestudeerd. De Rothe-methode wordt toegepast voor de tijdsdiscretisatie en de convergentie van de oplossing wordt hiermee onderzocht.

promotor: Marián Slodička

Continuïteit in al zijn facetten

Het begrip continuïteit heeft vele verschijningsvormen. Het is een van de basispeilers van de analyse. Binnen de reële analyse vindt men bijvoorbeeld: continuïteit, α-Hölder continuïteit, Lipschitz continuïteit, Dini continuïteit, equicontinuïteit, uniforme continuïteit, absolute continuïteit, ... Bedoeling van de masterproef is het uitwerken van een globaal overzicht van alle soorten continuïteit en hun onderlinge verhoudingen. Als inleiding kan gestart worden met continuïteit van reële functies van één veranderlijke. Daaropvolgend kan veralgemeend worden naar metrische ruimten. Ook de relatie met convergentiestellingen kan worden belicht, in het bijzonder de overdracht van continuïteit op de limietfunctie.

Referentie: artikel1; artikel2

promotor: Rob De Staelen

Fractionele afgeleiden en differentiaalvergelijkingen

Een klassieke differentiaalvergelijking bevat afgeleiden van natuurlijke orde. Het eenvoudigste geval, eerste orde, staat bekend als het Cauchyprobleem. Maar waarom zouden wij ons beperken tot afgeleiden van natuurlijke orde? Is er geen uitbreiding van de afleidingsoperator mogelijk naar een willekeurige reële orde? Verschillende uitbreidingen zijn reeds gemaakt: Riemann-Liouville, Caputo, Hadamard. Het doel van deze masterproef is om zich (beperkt) in te werken in deze theorie vertrekkende van enkele standaardwerken. Hoever men hierin gaat, en in welke richting precies, bepalen we in onderling overleg. Zowel zuiver theoretisch als opname van enkele praktische voorbeelden is mogelijk.

Referentie: boek1; boek2; thesis

promotor: Rob De Staelen

Reconstructie van geheugenkern in parabolische problemen gebaseerd op een integraalmeting

Het onderwerp van deze masterproef situeert zich in de theorie van inverse problemen die worden gemodelleerd door evolutionaire PDEs. Wanneer niet-lokale effecten in rekening worden gebracht, kunnen vele tekortkomingen van klassieke veld theorieën worden overwonnen. Het is echter a priori niet duidelijk hoe deze niet-lokale effecten zich precies gedragen. De meest algemene lineaire vorm van niet-lokale effecten in de tijd (het zogenaamde geheugen-effect) maakt gebruik van convolutie. Wanneer men het exacte gedrag niet kent, is de convolutiekern in de integraaltransformatie niet bekend. Het doel is om voor bepaalde numerieke algoritmen - gebaseerd op Rothes methode - de convergentie aan te tonen en een foutenschatting door te voeren. Indien er tijd en interesse is kunnen de bekomen resultaten geïillustreerd worden met een numerieke simulatie. Co-auteurschap is verzekerd van alle publicaties waartoe een werkelijke bijdrage geleverd werd.

Referentie: artikel1; artikel2

promotor: Rob De Staelen

Integratie m.b.t. niet afleidbare paden: Itô en Stratonovich

De Riemannintegraal ∫f(x)dφ(x) is de limiet van een Riemannsom waarbij de partitie in lengte naar nul streeft. Het punt waarin het integrandum wordt geëvalueerd in elk deelinterval heeft geen belang. Wanneer φ niet afleidbaar is, kunnen wij nog steeds een Riemannsom neerschrijven ∑f(ξi)[φ(xi+1)-φ(xi)] maar is de keuze van ξi∈[xi,xi+1] bepalend voor de limiet. Kiest men ξi=xi (het linkerpunt) dan bekomt men de Itôintegraal, kiest men ξi=(xi+xi+1)/2 (het middelpunt) dan bekomt men de Stratonovichintegraal. Bovendien kan φ(x) een stochastisch proces zijn (oneindige kwadratische variatie). Het doel van deze masterproef is om zich (beperkt) in te werken in deze theorie vertrekkende van enkele standaardwerken. Hoever men hierin gaat, en in welke richting precies, bepalen we in onderling overleg. Het grote verschil tussen beide integralen (of differentialen) is dat de kettingregel bij Itô verloren gaat, en bij Stratonovich niet. Er bestaat een recent ontdekt verband tussen beide integralen via 2-jets. Zowel zuiver theoretisch als opname van enkele praktische voorbeelden (bijvoorbeeld uit de financiële wiskunde) is mogelijk.

Referentie: boek1; boek2; draft paper

promotor: Rob De Staelen